Éléments finis : explication de cette méthode d'analyse numérique

En analyse quantitative, la notion des éléments finis est une approche usuelle en mécanique, thermodynamique et acoustique pour résoudre des équations représentant des dérivées partielles. Effectivement, la méthode des éléments finis permet de calculer quantitativement le comportement d'un système composé de plusieurs éléments avec des interactions complexes, à condition que les éléments soient omniprésents et leurs interactions soient décrites par une équation aux dérivées partielles linéaires.

Mise en route

Le concept des éléments finis appartient à un ensemble de méthodologies relatives aux mathématiques appliquées. Il s'agit d'instaurer, grâce aux principes de la formulation variationnelle, un algorithme discret quantitatif capable de trouver une solution approximative d'une équation aux dérivées partielles sur un domaine serré avec des conditions et des restrictions portant sur la compatibilité du système étudié. Ce sont des conditions de type Dirichlet (conditions aux bords du système), Neumann ou Robin (gradient/variabilité). Le concept des éléments finis se base sur la résolution approchée d'une équation EDP, où, grâce à la modélisation variationnelle, les solutions des équations EDP vérifient des conditions de base plus précises. Pour les éléments finis, la notion de discrétisation assure une solution approximative de l'équation EDP. Comme la majorité des méthodes quantitatives, l'algorithme de résolution se posent les démarches qualité de la discrétisation suivante. - L'existence de solutions. - L'unicité de la solution. - La stabilité. - La convergence. - Mesure d'erreurs.

La méthode des éléments finis

La méthode des éléments finis est un moyen qui permet de résoudre de manière réservée une EDP dont on veut trouver une solution approximative et fiable. Généralement, une équation EDP se définit par une fonction u, qui représente des structures. Elle intègre des conditions aux limites du système étudié ce qui permet d’assurer les conditions d’existence et unicité de la solution. La discrétisation passe par une modélisation et une approche approximative de la géométrie, on déduit donc que le problème étudié sur la géométrie d’appréciation par un domaine polygonal nécessite des interpolations. Une fois la structure approchée, il faut déterminer un espace d'approximation des variables. Cet espace d'approximation est défini par un maillage de domaines qui définissent l’ensemble des éléments finis pour le calcul de structure.